教学大纲

本课程共60学时，分为以下九章：

第一章：数值分析的基本概念（2学时）

1 本章教学内容：数值分析的基本概念（2学时）。

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解计算模型中的误差来源，理解截断误差和舍入误差，数值运算的误差估计；掌握算法的数值稳定性概念，掌握数值计算中的基本原则。

3 本章教学重点：数值计算的重要意义，数值计算效率和精度之间的关系。

4 本章教学难点：误差的传播规律。

第二章：非线性方程求根方法（8学时）

1 本章教学内容：(1) 简单迭代法（2学时），(2) 迭代法的一般理论（2学时），(3) 牛顿迭代法（4学时）。

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解二分法的算法思想，理解二分法收敛定理，理解割线法，理解迭代收敛速度概念和迭代加速技术，理解不动点迭代的一般理论；掌握牛顿迭代法迭代格式，掌握牛顿迭代法误差估计和收敛速度分析。

3 本章教学重点：（1）算法的编写，（2）不动点迭代及收敛性，（3）迭代收敛阶，（4）牛顿迭代法的构造，（5）牛顿迭代法的收敛条件。

4 本章教学难点：（1）迭代法的收敛性证明，（2）牛顿迭代局部收敛性的证明，（3）迭代法的计算复杂性。

第三章：线性方程组的直接法(10学时)

1 本章教学内容：(1) 高斯消元法，（4学时），(2) 矩阵三角分解的直接方（2学时），(3) 向量和矩阵范数（4学时）

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解高斯消元法算法思想，理解高斯变换的重要性质，理解矩阵三角分解的直接方法，理解向量和矩阵的范数意义；掌握理解列主元消元法，掌握矩阵的LU分解的直接分解方法，掌握三对角方程组求解的消元求解方法，掌握向量的常见三种范数（1范数、2范数和无穷范数）和矩阵三种算子范数（1范数、2范数和无穷范数）的概念和计算方法。

3 本章教学重点：（1）高斯消元法的基本思想，（2）高斯消元法与矩阵分解的必然联系，（3）向量和矩阵范数。

4 本章教学难点：（1）高斯消元的算法，（2）向量范数与矩阵算子范数的概念和计算方法，（3）极小化原理。

第四章：线性方程组的迭代解法（10学时）

1 本章教学内容：(1) 迭代法初步（2学时），(2) 收敛性分析初步（4学时），(3) 极小化方法（4学时）

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解理解对称正定矩阵方程组求解的简单迭代法，理解雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代的收敛性和判断方法，理解最速下降法，理解共轭梯度法及收敛性判别方法；掌握雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代的计算格式，掌握高斯-赛德尔迭代的收敛性判断方法，掌握迭代向量序列的误差估计方法，掌握最速下降法。

3 本章教学重点：（1）大规模线性方程组迭代计算的思想，（2）迭代计算的收敛性和误差估计，（3）最速下降的基本思想，（4）共轭梯度法的基本思想。

4 本章教学难点：（1）迭代法的收敛性分析，（2）极小化方法的一般原理。

第五章：矩阵的特征值与特征向量（4学时）

1 本章教学内容：(1) 幂法与反幂法（2学时），(2) QR方法（2学时）。

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解理解矩阵特征值的基本理论，理解计算实矩阵的按模最大的特征值及其相应的特征向量的乘幂法方法，理解原点平移法，理解雷利商加速法，理解计算实矩阵特征值和特征向量的QR变换法；掌握计算实矩阵的按模最大的特征值及其相应的特征向量的乘幂法，掌握反幂法，掌握QR变换法求特征值的方法。

3 本章教学重点：（1）幂法的基本思想，（2）反幂法的基本思想，（3）QR变换法的基本思想。

4 本章教学难点：（1）幂法的收敛性分析，（2）雷利商加速的基本原理。

第六章：数据插值方法（8学时）

1 本章教学内容：(1) 拉格朗日插值与牛顿插值（4学时），(2) 分段插值（2学时），(3) 样条插值（2学时）。

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解多项式插值的存在唯一性定理和插值误差估计公式，理解分段线性插值与多元函数插值方法，理解埃尔米特插值方法，理解样条插值方法；掌握拉格朗日插值公式以及拉格朗日插值基函数构造方法，掌握均差计算方法以及牛顿插值公式的计算方法。

3 本章教学重点：（1）拉格朗日插值方法，（2）拉格朗日插值基函数和牛顿插值基函数的性质，（3）样条函数的总体高阶光滑性质以及三对角方程组与导数计算的关系。

4 本章教学难点：（1）样条函数的极性，（2）埃尔米特多项式。

第七章：数据拟合与函数逼近(6学时)

1 本章教学内容：(1) 数据拟合（2学时），(2) 正交多项式（2学时），（3）函数逼近（2学时）。

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解理解数据拟合的概念，理解最小二乘法的应用背景，理解最小二乘法的几何意义，理解Givens变换，理解正交多项式和最佳平方逼近方法；掌握掌握曲线拟合的最小二乘法算法，掌握求解超定方程组的最小二乘法，掌握最小二乘法与正交化方法的关系。

3 本章教学重点：（1）最小二乘法的原理与应用，（2）正交化方法对超定方程组求解的影响。

4 本章教学难点：（1）拟合函数的计算，（2）正交化方法解超定方程组。

第八章：数值积分和数值微分（6学时）

1 本章教学内容：(1) 数值积分的基本概念（2学时），(2) 高斯积分，（3）数值微分（2学时）。

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解理解插值型求积公式的概念和方法，理解数值积分中的代数精度概念，理解外推原理与Romberg算法，理解高斯求积公式及其复合公式；掌握掌握梯形公式，掌握辛卜生求积公式，掌握复合求积公式及算法，掌握插值型求积公式的误差估计方法，掌握差商计算数值微分方法。

3 本章教学重点：（1）数值积分与数值微分的常用计算方法，（2）插值方法与数值求积方法之间的联系，（3）高斯积分法。

4 本章教学难点：（1）数值积分的代数精度，（2）数值微分的计算精度。

第九章：分常微方程的数值解法(6学时)

1 本章教学内容：(1) 常微分方程数值解（2学时），(2) 龙格库塔方法，（3）线性多步法（2学时）。

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解常微分方程数值求解方法的离散化思想，理解二阶龙格-库塔方法，理解四阶龙格-库塔方法，理解单步法的收敛性和稳定性，理解线性多步法，理解一阶常微分方程组和高阶方程求解方法；掌握掌握求解一阶常微分方程的欧拉方法，掌握修正的欧拉法，掌握局部截断误差和计算格式的精度阶概念，掌握高阶方程转化为一阶微分方程组的基本技术。

3 本章教学重点：（1）常微分方离散化的常用技术，（2）微分方程数值解的主要特点。

4 本章教学难点：（1）微分方程的差分逼近阶，（2）数值解的逼近阶估计，（3）数值积分与微分方程数值解关系。

三、教学方式

1．以电子课件及参考资料为主的课堂教学。

2．以课堂讲授为主，讲授内容以课件为主线，辅以各种数值计算综述报告、最新进展学术文章、关键问题深度解析材料、科研项目实际案例文稿等。

3．根据需要开展课内或课外的主题式研讨活动。

四、先修课程

微积分、线性代数、概率论与数理统计、程序设计语言（MATLAB/Python/C）