一、教学目的

本课程面向硕士研究生，通过该课程使学生掌握数学物理方程中的基本概念和基本的理论体系，掌握偏微分方程定解问题求解的常用方法。同时，加强偏微分方程理论在连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的应用，培养学生数学物理问题的建模、分析与求解能力。

二、教学内容与要求

本课程共60学时，分为以下八章：

第一章 绪论（3学时）

了解：

1. 本课程的目的是为数学物理中出现的偏微分方程定解问题提供问题分析方法和求解方法。

2. 课程主要涉及的偏微分方程类型。

3.了解主要涉及的领域和进展。

掌握：

1. 常微分方程常用求解方法。

2．主要积分类型和相应积分公式。

3．常用物理定律。

重点与难点：

本章重点是使学生明白本课程的意义，掌握常微分方程常用求解方法和常用物理定律；难点是数学方法在物理问题分析中的应用。

第二章 定解问题与偏微分方程理论（9学时）

了解：

1. 三类方程的主要物理背景。

2. 偏微分方程定性分析方法。

掌握：

1. 波动方程的建立：

a) 细弦振动；

b) 细杆振动；

c) 电报方程。

2. 热传导方程的建立

3. 稳态方程的建立

4. 方程的化简与分类

5. 二阶线性偏微分方程的基本理论

重点与难点：

重点掌握波动方程、热传导方程、稳态方程及其定解条件的确定。难点是方程的化简方法与二阶线性偏微分方程的基本理论。

实践环节：

作业：P22: 1,2,3,4,5；P26: 1,2,4；P30: 1；P36: 1,2(1,3).

第三章 分离变量解法（10学时）

了解：

1. 问题产生的主要物理背景。

2. Fourier级数各种展开形式。

掌握：

1. 掌握固有值问题的求解方法。

2. 理解Fourior级数及其系数公式。

3. 掌握求解简单的非齐次方程。

重点与难点：

重点是掌握固有值问题及齐次定解问题的求解方法；难点是非齐次问题的求解。

实践环节：

作业：P56: 2(1), 3(1,3)；P60: 2,5；P64: 5；P70: 1,2.

第四章 行波法（6学时）

了解：

1． Poisson公式推导过程中的均值的几何意义。

2． 二维波动方程Cauchy问题公式的推导。

掌握：

1． d¢Alembert公式的推导。

2． 高维波动方程Cauchy问题公式的推导。

3． 半无界弦振动问题的求解。

4． 非齐次波动方程的求解。

重点与难点：

本章的重点是掌握波动方程Cauchy问题公式的推导及其应用；难点是非齐次波动方程的求解方法较多，涉及面广，学生较难掌握。

作业：P90:1,6；P92:1；P101:1,3.

第五章 积分变换（10学时）

了解：

1． 常用的积分变换。

2． 复变函数及其常用性质。

3． 罗朗级数及其性质。

掌握：

1． Fourier变换及其应用。

2． 掌握Laplace变换及其应用。

重点与难点：

重点掌握Fourier和Laplace变换的性质及其应用。难点是Fourier和Laplace逆变换，其求解过程非常麻烦。

实践环节：

作业：P108:1,3(1)；P115: 1,3；P124: 2,3；P128: 1.

第六章 Green函数法（10学时）

了解：

1． 二维Green公式的推导。

2． 了解波动方程和热传导方程Cauchy问题的Green函数解法。

3． 了解Dirichlet问题和Neumann问题解的唯一性与稳定性。

掌握：

1． 空间中的三个Green公式及调和函数的性质

2． Robin问题的求解

3． 学会几种特殊区域上的Green函数及其Dirichlet问题的解

重点与难点：

重点掌握Robin问题和Dirichlet问题的求解。难点是定理的推导和特殊区域上Dirichlet问题的Green函数的构造。

实践环节：

作业：推导二维三类Green公式.

第七章 Bessel函数（6学时）

了解：

1. 线性常微分方程解的结构。

2. 第二类Bessel函数。

掌握：

1. Bessel方程及其推导，Bessel方程求解。

2. Bessel函数常用的递推公式。

3. Bessel函数正交性的应用。

4. Bessel函数在定解问题中的应用。

重点与难点：

重点为Bessel方程的求解、递推公式及其应用；难点是母函数、公式递推。

实践环节：

作业：P182: 1,2；P188: 2.

第八章 Legendre函数（6学时）

了解：

a) Legendre方程的物理背景。

b) Legendre多项式的几何物理意义。

掌握：

1. Legendre方程及其推导，Bessel方程求解

2. Legendre多项式常用的递推公式

3. Legendre多项式正交性的应用

4. Legendre多项式在定解问题中的应用

重点与难点：

重点为Legendre方程的求解、递推公式及其应用；难点是母函数、公式递推。

实践环节：

作业：P210: 2,3；P219: 5.

三、教学方式

1．以课堂讲授为主，讲授内容以教材内容为主线，结合专业特点提高学生的问题分析能力。

2．引导学生课后对物理问题进行计算机仿真，提高编程能力。

3．根据需要开展课内或课外的主题式研讨活动。

四、考核方式与成绩评定

1．考试：

考核方式：闭卷

成绩评定：平时成绩（出勤，实践表现及作业）占20%，期末考试成绩占80%。

2．考查：

考核方式：闭卷

成绩评定：平时成绩（出勤，实践表现及作业）占40%，期末考试成绩占60%。

五、教材及主要参考书目

[1]李明奇，田太心．数学物理方程（第二版），成都：电子科技大学出版社，2017

[2]梁昆淼．数学物理方法．北京：高等教育出版社，1998

[3]顾樵．数学物理方法．北京：科学出版社，2017

[4]李家春，周显初．数学物理中的渐近方法．北京：科学出版社，1998

[5]吴崇试．数学物理方法．北京：北京大学出版社，2003

[6]谢处方，饶克谨．电磁场与电磁波．北京：高等教育出版社，2000

[7]彭芳麟．数学物理方程的Matlab解法与可视化．北京：清华大学出版社，2004

（大纲撰写人：李明奇）

（大纲审稿人：向昭银）