《数学建模》课程教学大纲

课程英文名称：Mathematical Modeling an Experiments

适用学科专业：数学类专业

先修课程：数学分析、高等代数、概率统计

一、课程简介

数学建模是一门新兴的数学与其他学科紧密结合的综合性应用数学课程。课程主要内容包括创新思维方法，微分模型，插值方法，拟合方法，数据处理，随机模拟等。

Introduction

Mathematical modeling is a new integrated mathematics course which is closely integrated with other disciplines. The main contents of the course include innovative thinking method, differential model, interpolation method, fitting method, data processing, random simulation and so on.

二、课程目标

本课程力求贯彻现代教育核心思想：培养学生创新思维、意识及能力; 培养学生的数学应用能力，强调理论与实际应用并重; 以介绍数学建模的一般方法为主线，着重训练学生运用数学工具建立数学模型、解决实际问题的技能技巧，强调从事现代科研活动的能力和相关素质的培养。

Goals:

This course aims to implement modern education' core idea: cultivating students' innovative thinking, consciousness and ability; cultivate students' mathematics application ability, emphasizes both theory and practical application; in general methods of mathematical modeling as the main line, focus on training students to use mathematical tools to establish mathematical model and solve the practical problems, emphasizes the ability to engage in modern culture research activities and related quality.

三、课程内容安排和要求

（一）教学内容、要求及教学方法

第一部分   前言（授课时数：共2学时）

1. 教学内容及教学要求

了解《数学建模》课程的特点及课程安排、考试考核等方面。

2、数学史简介(包括数学建模史)

数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，它的内容是从实际中抽象出来，与实际想脱离的，但在它生产和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。

3、数学建模竞赛（MCM）由来和历史

第二部分 数学与现实世界（授课时数：共8学时）

1. 教学内容及教学要求

理解数学科学的重要性; 理解数学模型定义(E.A. Bendar); 理解数学模型的可转移性与普适性；掌握从现实对象到数学模型的抽象过程；了解数学建模的不唯一性，建模方法的多样性；掌握数学建模应遵循的一般原则。

了解数学建模基本过程、基本方法。通过几个建模案例让学生初步体会进行科学研究的特点，体会学以致用的精妙所在，体会将数学用来解决实际问题的美丽，体会科学的精神。

2. 教学重点与难点

重点：建模案例介绍；解数学模型基本方法、数学建模的建立过程和注意事项；要求学生认识到数学建模方法的独特性，及其广泛应用性；数学建模应用的强大魅力。

难点：案例中建模过程；对数学模型过程的理解；将数学建模过程与做一道数学题目区别开来；针对不同的问题，采取的建模方法不同。

第三部分 建模方法论（授课时数：共8学时）

1. 教学内容及教学要求

了解数学建模的各阶段性工作；掌握几种创造性思维方法：发散性思维、类比思维、猜测思维等数学思维方法；掌握小组群体思维方法，整体把握问题方法; 掌握分析问题的基本步骤：明确问题、条件及数据分析、建立问题的整体框架。

掌握建立数学模型的技巧；模型的整体设计、利用假设简化或明确问题、 用数学语言和数学表达式表述数学模型；掌握求解数学模型的基本技巧和原则；了解模型以及模型解的分析和检验思想及方法。

2. 教学重点与难点

重点：通过实例认识数学模型、数学建模的基本概念和过程。教学过程中注意由浅入深，开展研讨式、探究式的教学，其中特别通过提问来展开。所提问题可能本身来源于讲解的建模问题，也要包含建模中经常遇到的问题，比如“认识该问题的背景”，“本问题有无难以理解的专业术语”，“本问题与哪些问题有相似之处”。难点：假设的设置(合理)、建立模型。

教学难点：数学建模的基本概念在应用实例中的对照，如对“问题分析”，“假设”，“数学模型”，“模型求解”，“模型检验”等的理解。由于涉及概念多，因此目前重点讲解对“问题分析”，“假设”，“数学模型”的理解和把握。

第四部分 数学软件简介（授课时数：共2学时）

1. 教学内容及教学要求

了解数学数学建模常用软件（MATLAB、SPSS、LINGO）等的基本情况及特点。

2. 教学重点与难点

重点：软件特点介绍。

第五部分 量纲分析建模法（授课时数：共4学时）

1. 教学内容及教学要求

从数学含义上理解量纲的概念，力学基本物理量的量纲；了解量纲分析建模中的共性：适合应用的问题类型，应用过程；掌握量纲分析建模方法的建模过程。

了解量纲齐次原则和Buckingham Pi定理，掌握量纲分析法对模型进行检验；理解量纲齐次原则，了解用Pi定理初步确定变量关系的方法；量纲分析法案例介绍。

2. 教学重点与难点

重点：量纲齐次原则、比例模型。

难点：Buckingham Pi定理。

第六部分 机理分析法建模（授课时数：共8学时）

1. 教学内容及教学要求

掌握微分方程和差分方程的基本概念; 掌握常用的建立微分方程与差分方程的方法; 掌握基于逻辑分析法建模；了解微分方程和差分方程的理论解法; 了解常系数线性微分方程与差分方程及其解法;了解微分方程的定性分析的基本思想和方法; 了解常见的微分方程的数值解法的基本思想。

2. 教学重点与难点

重点：微分方程的建立。

难点：微分方程的定性分析在建模中的应用。

第七部分 数据建模（授课时数：共6学时）

1. 教学内容及教学要求

理解插值、曲线拟合、回归的基本概念，掌握运用这些方法来建模的基本特点和规律；理解这些方法之间的差异；会用这些方法进行初步的数据建模。

2. 教学重点与难点

重点：运用数据处理方法来建立数学模型，数据建模结果分析和检验。

难点：插值、拟合的区别，及其应用；数据建模的优劣分析。

第八部分 基于数据的建模方法介绍（授课时数：共8学时）

1. 教学内容及教学要求

了解离散数据的归类: 随机数据与非随机数据，了解随机数据的归类：动态数据与静态数据；了解针对不同数据的建模方法的差异。

掌握经验模型建立的思想和关键步骤; 掌握基于静态数据的回归分析建模思想以及多元线性回归模型的关键步骤; 了解一元多项式回归模型线性化处理方法。

了解统计模型的检验与评价的必要性；掌握多元线性回归模型检验：回归方程的显著性检验、回归系数的显著性检验 、“最优”回归方程的选择。

掌握探索性数据分析的图表描述方法及常见统计指标，并能通过软件实现；了解聚类分析和方差分析的基本原理，并能通过软件实现。

2. 教学重点与难点

重点：经验模型、模型的参数估计。

难点：模型的误差分析、模型检验。

第九部分 模拟模型（授课时数：共8学时）

1. 教学内容及教学要求

了解随机现象的模拟、随机数的理解随机数概念; 了解产生随机数的模拟原理，掌握产生随机数的递推方法：乘同余法和混合同余法；掌握随机变量的模拟方法; 理解系统模拟思想及原理，掌握静态系统的蒙特卡罗模拟方法。

理解系统模拟的一般概念，了解排队系统的描述方式及模拟原理，掌握动态系统模拟的“时间步长法 ”和“面向事件法”的原理及模拟算法。

2. 教学重点与难点

重点：蒙特卡罗模拟、动态系统模拟。

难点：一般分布随机数的产生、系统模拟过程的算法设计。

第十部分 科技论文写作（授课时数：共2学时）

1. 教学内容及教学要求

了解摘要、正文(重述与分析、建模、求解与检验)、结论、参考文献的格式。

2. 教学重点与难点

重点：摘要三要素。

难点：公式编辑器使用、图形表格在文章中的使用。

（三）实践性教学环节和要求

上机实验 8学时：

1. 数值科学计算上机实验（2学时）.

理解Matlab的插值函数（interp1，interp2），理解曲线拟合函数(ployfit)，掌握数值积分函数(quad). 掌握用Matlab语言求解微分方程与差分方程的命令，了解用计算机求解微分方程数值解的程序实现。

2. 最优化模型上机实验（2学时）

掌握求解线性规划和非线性规划的Matlab函数, 掌握蒙特卡罗法求解非线性规划的基本步骤。

3. 基于数据处理的上机实验（2学时）

利用Matlab或SPSS软件对数据进行统计分析。

4. 蒙特卡罗模拟上机实验（2学时）

实践蒙特卡罗法中的算法设计与程序框架，静态模拟及动态系统模拟例子（赶火车问题等）.要求掌握蒙特卡罗模拟中的算法设计与编程实现。

四、考核方式

1. 平时考核 (课下作业、分组完成大作业提交书面报告、课堂讨论等);

2. 理论考核（期末闭卷笔试）;

3. 实践考核（上机实验及报告等）；

最终成绩按平时成绩占10%，实践考核成绩占20%构成. 理论考核成绩占70%。

五、建议教材及参考资料

（一）教材：

1. 徐全智，杨晋浩，数学建模（第2版），高等教育出版社，2008年6月.

（二）参考资料：

1. 杨启帆等.数学建模案例集，高等教育出版社，2006年.

2. 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月.

3. [美]F.卢卡斯著，朱煜民，周宇红译. 微分方程模型，国防科技大学出版社，1988.8.

4. [美] Richard A. Johnson, Dean W. Wichern，陆璇、叶俊译, 实用多元统计分析, 第6版，清华大学出版社, 2008.11.

5. 余建英、何旭宏. 数据统计分析与SPSS应用, 第1版, 人民邮电出版社, 2004.4.

6. 吕同富等著, 数值计算方法, 第1版, 清华大学出版社，2008.9.

7. Frank R等, 数学建模（第5版），机械工业出版社，2017.

8. 王沫然, Matlab与科学计算, 电子工业出版社，2012.

9. 司守奎、孙兆亮，数学建模算法与应用（第5版），国防工业出版社，2017.