本课程60学时，分为七章介绍：
第一章 预备知识（6学时）
本章为顺利介绍随机过程的内容，针对本科《概率论与数理统计》现有教学要求做部分的拓展和加深。
了解
1. 黎曼—斯蒂阶积分的概念及性质；
2. 随机变量数字特征的黎曼—斯蒂阶积分定义，条件数学期望概念及性质；
3. 特征函数概念及性质。
掌握
1. 应用条件数学期望确定随机变量分布、计算相关数字特征的方法；
2. 特征函数的反演公式及唯一性定理，应用特征函数确定随机变量分布及计算相关数字特征的方法。
第二章 随机过程基本概念（8学时）
本章通过对随机过程的概要介绍, 使学生对随机过程的理论及应用有一个整体的了解和把握，以利下一步深入的学习。
了解
1. 概率空间概念及随机向量概念；
2. 随机过程的工程及实际背景；
3. 科尔莫哥罗夫随机过程存在定理及其在随机过程理论中的作用；
4. 随机过程有限维特征函数族的概念及其性质。
掌握
1. 随机过程的数学定义, 概率空间概念、样本函数概念及随机过程的二元理解；
2. 随机过程有限维分布函数族的概念及其性质, 确定随机过程分布的各类方法；
3. 随机过程的基本类型及相关结论，具体有二阶矩过程、严(宽)平稳过程、正交过程、马尔科夫过程、独立过程、独立增量过程、独立平稳增量过程。
4. 随机过程的数字特征：均值函数、方差函数、协方差函数、相关函数(或相关系数)、互相关函数的概念以及计算数字特征的各类方法。
重点和难点
重点是定义在概率空间上的随机过程概念的理解。难点是如何从有限维随机向量推广到无限维随机变量族, 并形成随机过程的概念理解, 随机过程的二元理解。
作业：完成教材本章所附习题。
第三章 几类重要随机过程（10学时）
了解
1. 正态随机向量的特征函数形式定义, 退化(奇异)正态分布；
2. 正态随机向量的重要性质；
3. 退化(奇异)正态过程的存在性, 对工程与科研应用问题中的影响；
4. 维纳过程的数学模型；
5. 维纳过程的样本函数的几乎处处连续性；
6. 随机点过程的实际存在性以及伴随点过程的计数过程定义；
7. 齐次泊松过程的数学模型；
8. 非齐次泊松过程(自学)；
9. 泊松过程概念的推广过程，比如更新计数过程、复合泊松过程等；
10. 泊松过程的叠加与分解以及工程上的应用。
掌握
1. 正态随机向量的线性变换不变性；
2. 正态随机过程的定义，其有限维分布函数族和有限维特征函数族；
3. 正态随机过程的有限维随机向量的均值向量和协方差矩阵, 以及计算方法；
4. 维纳过程的数学定义及性质, 对布朗运动(随机游动)的数学描述方法；
5. 维纳过程的增量正态性、独立平稳增量性、零初值性以及维纳过程的非平稳性；
6. 维纳过程的有限维分布, 均值函数与协方差函数；
7. 齐次泊松过程的零初值性、平稳增量性以及随机点发生的稀有性，能对工程中的该类过程进行分析、判断和描述；
8. 齐次泊松过程的有限维分布以及与一维分布和增量分布的关系，以及该类过程的数字特征和有关事件的概率计算；
9. 齐次泊松过程有关随机变量的分布，比如到达时间间隔、等待时间间隔的分布，到达时间的统计分布, 并掌握用于该类过程的研究方法；
10. 更新计数过程概念及工程应用, 泊松过程与更新计数过程的关系，泊松过程的等价定义；
11. 复合泊松过程的概念及工程应用。
重点和难点：
本章详细介绍工程及科研中常用的三种经典随机过程: 正态过程、维纳过程、泊松过程及泊松过程的推广。正态随机过程的重点为定义及概念理解。维纳过程的重点是概念的理解，难点有对工程实践中随机游动的刻画; 维纳过程的识别判定条件; 对维纳过程的非平稳性及增量平稳性的理解。泊松过程部分的重点是齐次泊松过程、复合泊松过程以及更新计数过程的概念理解及工程应用，其难点是如何应用相关理论对各种泊松过程的进行识别和描述，涉及到的概率论与数理统计的理论基础较深、计算分析方法较难。
作业 ：完成教材本章所附习题。
第四章 均方微积分（12学时）
了解
1. 分布函数列的弱收敛性及连续性定理(levy-Cramer)；
2. 随机变量序列的三种收敛性： 依分布收敛、依概率收敛、概率为1收敛(几乎处处收
敛)，以及三种收敛性的关系；
3. 二阶矩空间H上的内积、范数、距离概念，距离空间H的完备性；
4. 正态过程的均方微积分，以及其导数过程和积分过程的正态不变性；
5. 随机微分方程概念以及简单一阶线性微分方程的求解方法，随机微分方程的解过程的均值函数及相关函数计算方法(自学)；
6. 伊藤积分定义和性质，伊藤随机微分方程(自学)。
掌握
1. 二阶矩空间的均方极限和均方收敛概念；
2. 均方收敛意义下的完备性定理: 柯西均方收敛准则，线性赋范空间H 的完备性；
3. 均方极限的运算性质，二阶矩过程均方极限的数字特征：均值函数、自相关函
数、方差函数的计算以及均方极限的特征函数计算方法；
4. 二阶矩过程的洛易夫均方收敛准则，均方极限收敛性与其自相关函数收敛性的关系；
5. 随机过程的均方连续概念及均方连续准则, 与其均值函数、方差函数连续性的关系；
6. 随机过程的均方导数定义, 相关函数广义二阶可微概念及过程均方可微准则；
7. 均方导数过程的均方连续性及求导运算法则, 均方导数过程的数字特征：均值
函数、自相关函数、与原过程的互相关函数的计算；
9. 随机过程的黎曼均方定积分定义及均方可积准则，均方定积分性质: 唯一性、线性
性、对区间的可加性以及均方定积分的数字特征及性质；
10. 均方不定积分定义及性质，均方连续与均方可积的关系，牛顿-莱布尼兹公式，均方
积分过程的数字特征。
重点和难点
本章介绍基于二阶矩过程的均方微积分, 为平稳过程的研究和应用奠定理论基础。
重点有均方极限、均方连续、均方导数，均方积分概念的理解；洛易夫均方收敛判别定理在均方微积分中的作用和地位；均方连续则、均方可微准则及推论、均方可积准则；自相关函数在均方微积分学中的作用与地位。 难点有洛易夫均方收敛判别定理的证明及应用；均方可微准则的理解和对实际过程可微性判定；导数过程和积分过程的自相关函数和互相关函数的计算。
作业 ：完成教材本章所附习题。
第五章 平稳随机过程（12学时）
注意：下文中不特别说明的“平稳过程”均指宽平稳过程。
了解
1. 非平稳二阶矩过程的平稳化思想和部分方法；
2. 平稳过程的概念以及其互相关函数性质；
3. 平稳过程的周期性与其自相关函数周期性的关系；
4. 泊松过程与维纳过程的非平稳性，其差分过程的平稳性；
5. 均方遍历过程的均值和自相关函数的估计思想和方法；
6. 谱密度和谱函数的性质及工程应用；
7. 平稳过程的谱分解以及线性系统中的平稳过程(自学)。
掌握
1. 严平稳过程的概念及工程理解；
2. 宽平稳过程的概念及工程理解，两种平稳性的差异及关系，正态过程的严平稳和宽平
稳的等价性；
3. 实(复)平稳过程的自相关函数的性质: 非负性、有界性、复共轭性、非负定性；
4. 平稳过程均方连续的充分必要条件；
5. 平稳过程的均方导数过程、均方积分过程的均值函数、相关函数及互相关函数的计
算；
6. 平稳过程的均方可导充要条件, 其均方导数过程的平稳性，与其导数过程的不相关性，
平稳正态过程与其导数过程的独立性；
7. 时间平均和时间自相关函数的概念, 与统计平均和统计相关函数的概念差别；
8. 平稳过程的均方遍历性(各态历经性)概念及工程理解；
9. 均值均方遍历和自相关函数均方遍历的充要条件, 判别工程均方遍历的充分条件；
10. 平稳随机过程的功率谱密度(功率谱, 谱密度)概念及工程意义；
11. 维纳-辛钦定理: 平稳过程的相关函数与功率谱密度的Fourier变换关系，平稳过程
相关函数的谱分解式；
12. 相关函数的谱分解式的数学理解，谱密度和谱函数的性质。
重点和难点
本章内容具有较强的应用性和工具性。从工程应用和科研角度来看应是该门课程的重点章节。 平稳过程概念的理解和工程应用、平稳过程的自相关函数性质和计算、平稳过程均方遍历概念及工程应用理解、平稳过程均值及相关函数均方遍历性的判别、均方微积分理论用于平稳过程产生的特殊性、 平稳随机过程的功率谱密度及谱分解是本章的重点。难点是平稳过程的导数过程、积分过程的相关函数计算；平稳过程相关函数均方遍历性的判别。
作业 ：完成教材本章所附习题。
第六章 马尔可夫过程（12学时）
了解
1.按参数集T和状态空间E对马尔科夫过程的分类；
2. 连续参数马尔可夫链及相关理论(自学)；
3. 生灭过程概念，理论及其应用(自学)；
掌握
1. 理解随机过程的马尔科夫性及工程意义, 马尔科夫过程的有限维分布；
2. 离散参数马氏链的定义,马氏链的转移概率、转移矩阵及切普曼－柯尔莫哥洛夫方程；
3. 齐次马尔可夫链的概念及性质，其n步转移矩阵与一步转移矩阵的幂关系；
4. 齐次马尔可夫链的绝对概率分布，极限分布、平稳分布的概念及计算方法；
5. 齐次马氏链的遍历性概念及遍历性定理，齐次马氏链的平稳性及平稳分布；
6. 齐次马氏链状态转移的特征量：首达概率，最终概率、首达时间、首返概率等；
7. 齐次马氏链状态的类型：常返与非常返、零常返与正常返、周期状态、遍历态以及各种
状态类型的工程意义及判别方法；
8. 齐次马氏链状态空间的分解定理及分解方法，状态分类的应用。
重点难点
本章所设内容是随机过程理论最为丰富的部分, 应用范围广泛。主要介绍基本的离散参数马氏链。重点是齐次马尔可夫链的分布, 状态间的转移概率, 状态的分类, 状态空间的分解及其工程意义。难点有马氏性的理解；平稳性及平稳分布的理解；状态分类类型：常返与非常返、零常返与正常返、周期状态、遍历态的理解；各种状态类型的意义及判别方法；状态空间的分解及其工程意义。
作业 ：完成教材本章所附习题。
