教学大纲

1100016004《矩阵理论》教学大纲

一、教学目标

随着科学技术的发展, 矩阵理论已成为工程类学科、生物学、经济学、现代物理学等领域不可缺少的工具. 利用矩阵理论与方法来处理工程问题时, 具有表达简洁, 刻画问题深刻等优点.

本课程授课对象是博士/硕士研究生, 对其系统的讲解矩阵范数、矩阵分解、矩阵特征值估计、矩阵分析、广义逆矩阵等重要理论知识及其在相关领域中的应用, 使学生建立矩阵理论知识体系, 掌握矩阵理论及其应用的相关结论和方法. 通过本课程的学习, 让学生全面、系统地掌握矩阵分析的理论与方法, 培养学生应用矩阵分析理论解决实际工程问题的能力.

二、教学内容与要求

本课程共60学时, 分为以下六章：

第一章线性代数基础（8学时）

了解：

1．商空间的概念及维数定理

2．线性流形与凸闭包的概念

3．广义特征值问题

4．Kronecker乘积

掌握：

1．空间分解与维数定理

2．特征值与特征向量的概念与性质

3．酉变换和酉矩阵

4．欧氏空间上的度量

5．n维线性空间的分解与投影

重点与难点：

本章重点是使学生了解和掌握线性代数的一些基本概念；难点是掌握n维线性空间的分解与投影及相应性质.

作业：

1．对象：选课学生 内容：课后部分习题 类型：平时作业

第二章向量与矩阵范数（12学时）

6．了解：

1、广义算子范数

2、酉不变范数

3、矩阵的测度

掌握：

1．向量的范数.

a)范数定义和常用的几种范数

b)常用几个著名的不等式

c)向量范数的相关性质

2．矩阵的范数

a)常用的几种矩阵范数

b)相容的矩阵范数证明

c)矩阵范数的相关性质

3．算子范数

a)相容矩阵范数的定义和算子矩阵范数的定义

b)三种算子范数的计算

c)矩阵谱范数的相关性质

4．范数的应用

a)矩阵逆的摄动

b)线性方程组的摄动

重点与难点：

本章重点是使学生掌握向量的范数、矩阵的范数和算子的范数等概念与性质；难点是是学生对矩阵算子的范数的概念的理解和算子范数的证明.

作业：

1．对象：选课学生 内容：课后部分习题 类型：平时作业

第三章矩阵的分解（12学时）

了解：

1、与Jordan标准型矩阵相似的矩阵的分解

2、Hermite矩阵及其分解

掌握：

1．矩阵的三角分解

a)n阶方阵的三角分解

b)任意矩阵的三角分解

2．矩阵的谱分解

a)单纯矩阵的谱分解

b)正规矩阵及其分解

3．矩阵的最大秩分解

4．矩阵的奇异值分解

重点与难点：

本章重点是使学生掌握矩阵的三角分解、矩阵的谱分解、矩阵的最大秩分解和矩阵的奇异值分解. 难点是掌握矩阵的奇异值分解.

作业：

1．对象：选课学生 内容：课后部分习题 类型：平时作业

第四章矩阵特征值的估计与摄动（8学时）

了解：

1．Gerschgorin圆盘定理的推广

2．摄动定理

掌握：

1．几个著名的特征值界的估计定理

2．Gerschgorin圆盘定理

3．Hermite矩阵的变分特征

重点与难点：

本章重点是使学生掌握Gerschgorin圆盘定理及其应用. 难点是掌握Hermite矩阵的变分特征.

作业：

1．对象：选课学生 内容：课后部分习题 类型：平时作业

第五章矩阵分析（6学时）

了解：

1．矩阵序列, 矩阵级数定义

2．利用数项级数求和方法计算矩阵函数值

3．矩阵函数的性质

4．一阶线性常系数微分方程组

掌握：

1．矩阵序列与矩阵级数

a)收敛矩阵的充要条件

b)矩阵级数绝对收敛的充要条件

2．矩阵函数

a)利用相似对角化方法计算矩阵函数值

b)利用Jordan标准型方法计算矩阵函数值

3．矩阵的微分和积分

a)微分和积分计算公式.

重点与难点：

重点是矩阵函数值的计算.

作业：

1．对象：选课学生 结果形式：解答课后习题 类型：平时作业.

第六章广义逆矩阵（14学时）

了解：

1．矩阵的单边逆与方程组的关系

2．广义逆矩阵的概念

3．自反广义逆矩阵的概念

4．M-P广义逆矩阵的概念

5．谱分解法和极限算法求

6．广义逆矩阵的应用

a)矩阵方程的通解

b)最佳拟合曲线

掌握：

1. 矩阵的单边逆

a) 矩阵左(右)逆存在的条件

b) 一种矩阵左(右)逆的计算方法

2. 广义逆矩阵

a)广义逆矩阵的充要条件

b)广义逆矩阵的表示形式及计算

3. 自反广义逆矩阵

a)对任意矩阵的自反广义逆矩阵的表达式

b)广义逆矩阵是自反广义逆矩阵的充要条件

c)自反广义逆矩阵的相关性质

4. 的计算

d)利用矩阵的满秩分解求的方法

e)利用矩阵的行交换和列交换求的方法

f)利用矩阵的初等变换将A化为标准型求的方法

5. M-P广义逆矩阵

g)的存在性和唯一性及相关性质

6. 的计算方法

a) 最大秩分解法

b) 奇异值分解法

7. 广义逆矩阵的应用

a) 相容方程的最小范数解

b) 不相容方程组的解：最小二乘解, 最佳逼近解

重点与难点：

重点是广义逆矩阵的存在条件, 表达式及其的计算方法. 难点是判断不相容矩阵的解的类型.

作业：

1．对象：选课学生 结果形式：解答课后习题 类型：平时作业.

三、教学方式

课程采取课堂讲授为主、鼓励学生主动学习的研究式等教学方式。

四、考核方式与成绩评定

课程考核方式为考试，采取堂上闭卷笔试的方式。

成绩评定的考核比例为：

（1）过程考核占20%，包括：

考勤：5%，课堂互动：5%，平时作业：10%。

（2）期末考核占80%。

五、教材及主要参考书目

教材：

[1] 黄廷祝, 钟守铭, 李正良, 《矩阵理论》, 高等教育出版社, 2003.

参考书目：

[2] R.A.Horn, C.R.Johnson, 《Matrix Analysis》, 人民邮电出版社, 2005.

[3] 徐树方,《矩阵计算的理论与方法》, 北京大学出版社, 2002.

[4] 黄廷祝, 杨传胜, 《矩阵理论学习指导》, 清华大学出版社, 2010.