《数论》教学大纲

一、教学目的

本课程的目标是通过系统地学习初等数论的基本知识，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，并有助于进一步学习更广泛“整数”的性质与应用。

二、教学内容与要求

第一章：整数的整除性理论(10学时)

1 本章教学内容：带余除法、最大公因子、算术基本定理、有关n的正约数的三个公式、

n!的素数分解、多元一次不定方程、Mobius反演与数论函数

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解整数环Z的主要性质与应用，掌握带余除法、Bezout等式、最大公因子算法以及多元一次不定方程解法、数论函数。

3 本章教学重点：带余除法、最大公因子算法、Bezout等式、算术基本定理、数论函数。

4 本章教学难点： 算术基本定理证明、多元一次不定方程解法、Mobius反演。

第二章：同余理论(12学时)

1 本章教学内容：剩余系、完全剩余系、欧拉函数的定义及性质、欧拉定理、Fermat小定理、Wilson定理、一次同余方程、中国剩余定理、高次同余式、Hensel引理与

p-进数

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解环Zm的主要性质与应用，掌握欧拉定理、Fermat小定理核心思想、Wilson定理、一次同余式（方程）解法、高次同余式解法。

3 本章教学重点：欧拉函数的性质、欧拉定理、Fermat小定理、中国剩余定理、Hensel引理；

4 本章教学难点：欧拉函数的性质、中国剩余定理、Hensel引理。

第三章：二次互反律(10学时)

1 本章教学内容：二次剩余、欧拉判定法、Legendre符号的性质、Jacobi符号的性质、Gauss引理、二次互反律、解二次同余式；

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解二次剩余的主要性质与应用，掌握Gauss引理核心思想、运用二次互反律解二次同余式；

3 本章教学重点：欧拉判定法思想的理解、Legendre符号的性质证明、二次互反律证明与应用、解二次同余式；

4 本章教学难点：二次互反律证明、解二次同余式。

第四章：原根理论(8学时)

1 本章教学内容：原根、原根存在的条件、原根的算法、离散对数及性质、运用原根解同余式；

2 本章教学要求：通过本章课程的学习，要求学生理解循环群U(Zm)的主要性质与应用，掌握原根存在的条件、原根的算法、离散对数相关性质、会运用原根解同余式；

3 本章教学重点：指标、循环群的性质、原根存在条件的证明、原根的算法原理；

4 本章教学难点：原根存在条件的证明、离散对数。

(含自学)补充内容：群论初步、有限域、Maple系统