第一章赋范线性空间(10学时)

1.1 预备知识(2学时)

1.2 Banach空间(3学时)

1.3 Hilbert 空间(5学时)

了解：

1.度量空间、紧性、完备性等基本概念

2.赋范线性空间与完备赋范线性空间的概念

3.内积空间与完备内积空间的概念

掌握：

1.有限维赋范线性空间范数等价性及完备性

2.Riesz引理

3.无限维赋范线性空间单位闭球的非紧性

4.内积空间的基本性质

5.内积空间的正交概念及正交基

6.Hilbert空间的正交分解、优化理论

重点与难点：

重点是掌握赋范线性空间与内积空间的概念，掌握Hilbert空间正交分解定理及正交系的性质；难点是无限维赋范线性空间单位闭球的非紧性与无限维内积空间正交基

第2章算子理论(18学时)

2.1 线性算子(4学时)

2.2 对偶与Hahn-Banach定理 (5学时)

2.3 Hilbert空间上的线性算子(5学时)

2.4 紧算子(4学时)

了解：

1.有界线性算子、逆算子、共轭算子、紧算子、对偶空间

2.开映射、闭图像定理、一致有界原理

3.线性算子谱理论

4.紧算子性质

掌握：

1.线性算子范数

2.逆算子存在定理

3.Riesz-Frechet定理

4.Hahn-Banach定理

5.共轭算子的性质

6.紧算子的性质及谱理论

重点与难点：

重点是各类算子间的联系，以及本章中算子理论；难点是开映射定理、Hahn-Banach定理及谱理论的深刻理解。

第三章Sobolev空间理论(20学时)

3.1 引入Sobolev空间的动机（1学时）

3.2 Sobolev空间的定义及其基本性质(3学时)

3.3逼近与延拓(4学时)

3.4迹定理 (2学时)

3.5 Sobolev嵌入定理 (4学时)

3.6紧性 (2学时)

3.7Sobolev空间的 Fourier 刻划 (4学时)

了解：

1.弱导数和Sobolev空间的物理背景

2.Sobolev空间的定义

3.Sobolev空间中元素的延拓

4.迹定理

5.速降函数和缓增分布，缓增分布的Fourier变换

6.Sobolev空间在椭圆方程边值问题中的应用

掌握：

1.Sobolev空间的三种等价定义和范数

2.Sobolev空间的可分性

3.Sobolev空间嵌入定理及紧嵌入

重点与难点：

重点是Sobolev空间的定义和性质；难点是Sobolev空间嵌入定理以及三种定义的等价性。

第4章不等式及其他空间(12学时)

4.1 插值不等式 (4学时)

4.2 Poincare 不等式、Hardy 不等式(2学时)

4.4 空间(2学时)

4.4空间(2学时)

4.5时空Sobolev空间 (2学时)

了解：空间及其性质、空间及其性质

掌握：空间的插值及其上算子的插值、Poincare 不等式、Hardy 不等式及其应用、时空Sobolev空间的嵌入定理

重点与难点：

重点是空间和算子的插值；难点是相关各种不等式的证明。